1、冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)；其定義域是使有意義的值的***。
例1、已知冪函數(shù)，且當(dāng)時(shí)為減函數(shù)。求冪函數(shù)的解析式。
分析：正確理解冪函數(shù)的概念、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)。求冪函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，弄明白冪函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵。
解答：由于為冪函數(shù)，
所以，解得，或。
當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上為常函數(shù)，不合題意，舍去。
故所求冪函數(shù)的解析式為。
2、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
圖象：
性質(zhì)：
（1）所有的冪函數(shù)在上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)；
（2）如果，則冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)和，并且在區(qū)間上是增函數(shù)；
（3）如果，則冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，并在區(qū)間上是減函數(shù)。在第一象限內(nèi)，當(dāng)從趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無限地逼近軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無限地逼近軸；
（4）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)。
例2、比較，，的大小。
分析：先利用冪函數(shù)的增減性比較與的大小，再根據(jù)冪函數(shù)的圖象比較與的大小。
解答：
而在上單調(diào)遞增，且
，
。故。
例3、若函數(shù)在區(qū)間上是遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。
分析：本題考查簡(jiǎn)單冪函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖象的平移問題。
函數(shù)是一個(gè)比較常用的冪函數(shù)，它也叫做反比例函數(shù)，其定義域是，是一個(gè)奇函數(shù)，對(duì)稱中心為（0，0），在和上都是遞減函數(shù)。一般地，形如的函數(shù)都可以通過對(duì)的圖象進(jìn)行變換而得到，所以這些函數(shù)的性質(zhì)都可以借助的性質(zhì)來得到。
解答：由于
，所以函數(shù)的圖象是由冪函數(shù)
的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位得到的，所以其圖象如圖所示。
其單調(diào)遞減區(qū)間是和，而函數(shù)在區(qū)間上是遞減函數(shù)，所以應(yīng)有。
例4、若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，定義，試求函數(shù)的最大值及其單調(diào)區(qū)間。
分析：首先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出，然后在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)和的圖象，得出的函數(shù)圖象，最后根據(jù)圖象求出最大值和單調(diào)區(qū)間。
解答：設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以，所以，即；
又設(shè)，點(diǎn)在的圖象上，所以，所以，即。
在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示，則有
。
根據(jù)圖象可知函數(shù)的最大值等于，其單調(diào)遞增區(qū)間是（，－1）和（0，1）；單調(diào)遞減區(qū)間是和。
例5、已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，求函數(shù)的解析式，并討論的奇偶性。
分析：先根據(jù)單調(diào)性求出m的取值范圍，再由奇偶性進(jìn)一步確定m的取值。討論的奇偶性時(shí)要注意對(duì)字母的討論。
解答：由在上是減函數(shù)得，。∵，0，1。
又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，∴只有當(dāng)時(shí)符合題意，故。
于是
，
。
當(dāng)且時(shí)，為非奇非偶函數(shù)；
當(dāng)且時(shí)，為奇函數(shù)；
當(dāng)且時(shí)，為偶函數(shù)；
當(dāng)且時(shí)，為既奇又偶函數(shù)。
例6、已知冪函數(shù)在上是增函數(shù)，且在定義域上是偶函數(shù)。
（1）求的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)的解析式；
（2）對(duì)于（1）中求得的函數(shù)，設(shè)函數(shù)。問是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。
分析：第一問先根據(jù)單調(diào)性求出的取值范圍，再由奇偶性進(jìn)一步確定的取值。第二問可根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律來解。
解答：（1）∵冪函數(shù)在上是增函數(shù)，∴∴
又，∴
∵在定義域上是偶函數(shù)，∴只有當(dāng)時(shí)符合題意，故。
（2）由，則。
假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得滿足題設(shè)條件。令，則。
∵在上是減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。
若在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則在上是減函數(shù)，且在上是增函數(shù)，此時(shí)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程是即，
∴
。
故存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)。
