2，3，5，7，11，13，17，19，23……看著這些素數(shù)，很熟悉，但時常又覺得很陌生。它們就像自己的名字，簡單的存在著，只有一個書童1和自己的影子，它們在無窮的數(shù)軸上，形單影只地站立著，素面朝天。有些時候我覺得，自己就是一個孤獨的質數(shù)，喜歡沉浸在自己的思緒中，沉溺在自己的世界里，時常覺得不能被他人理解，不能被這個世界所容納，又或者是自己不能兼容這個世界上的太多人，太多事！
多少數(shù)論是"數(shù)學中的皇冠"，而質數(shù)，是"數(shù)論中的靈魂"。那么為什么質數(shù)這么重要呢？這是因為質數(shù)是其他數(shù)字的"基本構件"，質數(shù)（素數(shù)）本身不能再進一步分解成一些更小的正整數(shù)乘積，因此在此意義下，它是最基本的、不可分割的數(shù)，是構成其他整數(shù)的"基本元素"。而這么重要的"基本元素"，人們卻至今未找到一個可以表示或計算所有質數(shù)的公式，甚至連判斷一個大數(shù)是否是質數(shù)都很困難！
素數(shù)是只能被1和它本身整除的自然數(shù)，如2，3，5，7，11，13，17，19，23……，也被稱為質數(shù)。如果一個自然數(shù)不僅能被1和它本身整除，還能被別的自然數(shù)整除，就叫作合數(shù)。而1既不是質數(shù)，也不是合數(shù)。全體的自然數(shù)可分為四類：0，1.質數(shù)，合數(shù)。合數(shù)至少有三個因數(shù)：1、它本身、別的因數(shù)。注意：1和0既不是質數(shù)也不是合數(shù)．最小的質數(shù)是2，也是唯一的質偶數(shù)，如果考到了質合數(shù)那么在很大程度上會考2的運用，4是最小的合數(shù)，這些基本的知識點掌握清楚了以后咱們通過幾道題來加深對質合數(shù)問題的理解，這一點往往是破解質數(shù)問題突破口。
人們一般把整數(shù)看成最基本的數(shù)，其他的數(shù)都由整數(shù)衍生出來。但是專門研究整數(shù)的人卻不是這么看，他們認為質數(shù)才是最基本的數(shù)，因為任何大于1的正整數(shù)，若他不是質數(shù)，便是若干質數(shù)的積，這叫作分解質因數(shù)。因此素數(shù)可說是構成整個自然數(shù)大廈的磚瓦。
他叫埃拉托斯特尼，大概生于羋月、白起、秦始皇爺爺?shù)哪莻€年代的古希臘。在那個年代，他就計算出了地球的周長，誤差大概在2%，我們現(xiàn)在熟悉的英文單詞geography（地理學）也是出自他，是他引入了這個名字來表示研究地球的學問。
說這些的意義很明顯，就是為了證明這個帥哥很帥很偉大！就是這個人發(fā)明了關于數(shù)論中有名的篩法。埃拉托斯特尼把一張寫著自然數(shù)列的羊皮紙緊在一個框上，然后用刀子逐一挖掉2的倍數(shù)、3的倍數(shù)、5的倍數(shù)等等，從而列出了前面的幾個質數(shù)。這個***就是小學課堂里經常引用的***，卻很少有人知道它是由埃拉托斯特尼發(fā)明的。由于挖去了合數(shù)后，羊皮紙上留下了一個一個的洞眼，使整個羊皮紙猶如一個篩子，合數(shù)好像都通過篩子篩掉了，而質數(shù)則保留了下來，因此后人就稱這種尋找質數(shù)的***叫埃拉托斯特尼篩法。不過，用這樣的***找出質數(shù)畢竟不是一件容易的事。82歲那年，他失明了，一年后絕食而死。
在愛拉托散尼發(fā)明篩法不久，古希臘數(shù)學界出現(xiàn)了一場關于質數(shù)是有限還是無限的辯論。有人說是有限的，有人說是無限的，卻都無法給出一個科學的證明！
一天，柏拉圖的得意門生，亞歷山大里亞大學數(shù)學教授歐幾里得(Euclid)發(fā)現(xiàn)了一個質數(shù)有無限多個的證明，給這一場辯論畫了一個圓滿的句號,而且他給出的證明十分簡單，連現(xiàn)在的小學生都能理解。
證明一個給定數(shù)字是質數(shù)長久以來被應用于證明計算能力，最初都是被專家用來表演心算的天賦，后來被應用于測試電子計算機的計算能力！自20世紀70年代末以來，質數(shù)已經具有巨大的商業(yè)意義，因為它們構成了RSA加密算法的核心，被廣泛用于金融交易的保護。
粗略來講，RSA加密系統(tǒng)基于這樣的事實：沒有快速的***能將一個很大的數(shù)分解成兩個類似大小的質數(shù)，因此可以將兩個大數(shù)的乘積公開作為加密密鑰。雖然許多人認為這是真的，但仍然缺乏堅實的證據(jù)。鑒于利害關系，這也許會令人很不安——因為這相當于一個銀行宣稱肯定沒有人會找到底下放有安全鑰匙的墊子。就在2016年的第一個星期，美國密蘇里中央大學數(shù)學家柯蒂斯·庫珀發(fā)現(xiàn)了第49個"梅森素數(shù)"。它是迄今為止最大的素數(shù)——"2的74207281次方減1"，有2200多萬位，如果用普通字號打印出來，長度將超過65公里。
他是一個富二代，曾在牛津大學學習法學；他是是一個中學教師，學生是沙皇俄國彼得二世；
他是一個旅游愛好者，旅游的過程中結識了很多的數(shù)學愛好者，在他的朋友中有我們熟悉的伯努利家族——一個家族的一大群數(shù)學家，有萊布尼茲——跟牛頓同時創(chuàng)造了微積分學，跟牛頓打過官司，也有牛人歐拉！每一個都是享譽世界的大牛級數(shù)學家！所以一句話說的很好，你即你所在！
有一天，他在看小學數(shù)學課本，發(fā)現(xiàn)小學書上有這樣的題目：把下面的數(shù)拆成兩個質數(shù)相加得形式！于是他就開始拆著玩：4=2+2；5=2+3；6=3+3，7=2+5；8=3+5；……他算著算著，就開始興奮了，收不住腳，他發(fā)現(xiàn)：一個大于4的奇數(shù)如果拆成兩個質數(shù)相加，其中一定有一個是偶數(shù)2，而一個大于4的偶數(shù)似乎都能拆成兩個質數(shù)之和.他想破了腦筋也沒有想明白這到底是不是對的.
于是他拿起筆來，給歐拉寫了一封信，在信中，他寫道：哥們，我遇到了一個死難死難的問題，你幫我看看唄！我的問題是這樣的：隨便取某一個奇數(shù)，比如77，可以把它寫成三個素數(shù)之和：77=53+17+7；再任取一個奇數(shù)，比如461，461=449+7+5，也是三個素數(shù)之和，461還可以寫成257+199+5，仍然是三個素數(shù)之和。
這樣，我發(fā)現(xiàn)：任何大于9的奇數(shù)都是三個素數(shù)之和。但這怎樣證明呢？雖然做過的每一次試驗都得到了上述結果，但是不可能把所有的奇數(shù)都拿來檢驗，需要的是一般的證明，而不是個別的檢驗。"歐拉回信說："哥們，這個命題看來是正確的，但是我也證明不出來"。
同時歐拉又提出了此猜想可以有另一個等價的版本：任何一個大于2的偶數(shù)都是兩個素數(shù)之和，但是這個命題他也沒能給予證明。不難看出，哥德巴赫的命題是歐拉命題的推論。
從此,這道數(shù)學難題引起了幾乎所有數(shù)學家的注意.哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學皇冠上一顆可望不可及的"明珠".
一個個素數(shù)，就那么靜靜地存在著，有些相隔千里，有些僅有一數(shù)之遙，每一個他們都在自己的王國中孤獨著，守候著自己的那一份秘密。或許有一天，有某一個人不經意闖入了他的世界，與他一起綻放出震撼世界的光芒！
在找出素數(shù)之后，數(shù)學家想，能不能有一種方式能解決所有素數(shù)的分布或者素數(shù)的計算公式呢？遺憾的是，質數(shù)的分布是沒有規(guī)律的。"哥德巴赫猜想""孿生素數(shù)""黎曼猜想"這些著名猜想都對素數(shù)的分布提出了闡述，但是至今也沒有完全被證明。
對于我們現(xiàn)在可以相對輕快求解如下問題
1.小麗家的***號碼是由8個數(shù)字組成，第一個數(shù)字是最小的合數(shù)，第二個數(shù)字是最小的自然數(shù)，第三個數(shù)字是最小的質數(shù)，第四個數(shù)字是5的最小倍數(shù)，第五個數(shù)字是7的最小因數(shù)，第六個數(shù)字是一位數(shù)中最大的奇數(shù)，第七個數(shù)字是最小偶數(shù)，第八個數(shù)字是和2相鄰的質數(shù)，***號碼是．
【解析】本題主要根據(jù)奇數(shù)、偶數(shù)、質數(shù)、合數(shù)、因數(shù)與倍數(shù)的意義進行推理．根據(jù)對數(shù)字特征的描述進行推理：
第一個數(shù)字是最小的合數(shù)，是4；第二個數(shù)字是最小的自然數(shù)，是0；第三個數(shù)字是最小的質數(shù)，是2；第四個數(shù)字是5的最小倍數(shù)，是5；第五個數(shù)字是7的最小因數(shù)，是1；第六個數(shù)字是一位數(shù)中最大的奇數(shù)，是9；第七個數(shù)字是最小偶數(shù)，是0；第八個數(shù)字是和2相鄰的質數(shù)，是3．據(jù)此寫出這個號碼即可．所以這個***號碼是：40251903．故答案為：40251903．
請用以上***解決下列問題：
（1）請用"N法"判斷619是質數(shù)還是合數(shù)？
（2）求有18個約數(shù)的最小自然數(shù)．
【解析】本題考查數(shù)的規(guī)律；能夠讀懂材料，將所求轉化為材料內容是解題的關鍵．
（1）第一步，619＜625＝252；第二步，小于25的質數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19，23，用2、3、5、7、11、13、17、19，23，依次去除619；第三步，發(fā)現(xiàn)沒有質數(shù)能整除619，所以619是質數(shù)；
（2）18＝2×9＝1×18＝3×6，
∵2×9＝（1+1）（8+1），1×18＝（0+1）（17+1），3×6＝（2+1）（5+1），
【解析】由于a、b的關系不明確，故應分a＝b和a≠b兩種情況討論，
總結：試除法，是從質數(shù)定義推導出來的最基本的判斷***。而實際應用中，還有其他一些***可以幫助我們判斷一個數(shù)是否為質數(shù)，比如利用奇偶性：一個質數(shù)的2倍必定是偶數(shù)；一個偶數(shù)加上另外一個偶數(shù)是偶數(shù)，等等。
